Связь между поляризованностью и связанными зарядами

Предыдущая1234567Следующая

Поляризованность диэлектрика. Определение. Для количественного описания поляризации диэлектрика естественно взять дипольный момент единицы объема. Если внешнее поле или диэлектрик (или то и другое) неоднородны, степень поляризации оказывается различной в разных точках диэлектрика. Чтобы охарактеризовать поляри­зацию в данной точке, мысленно выделяют физически беско­нечно малый объем , содержащий эту точку, затем находят векторную сумму дипольных моментов молекул в этом объеме и составляют отношение

(1)

Определенный таким образом вектор называют поляризованностью диэлектрика. Этот вектор равен дипольному мо­менту единицы объема вещества.

Есть еще два полезных представления вектора . Пусть в объеме содержится диполей. Умножим и разделим пра­вую часть выражения (1) на . Тогда можно записать

где — концентрация молекул (их число в единице объема); — средний дипольный момент одной мо­лекулы.

Другое выражение для соответствует модели диэлектрика как совокупности положительной и отрицательной «жидко­стей». Выделим очень малый объем внутри диэлектрика. При возникновении поляризации входящий в этот объем поло­жительный заряд сместится относительно отрицательного заряда на величину , и эти заряды приобретут дипольный мо­мент . Разделив обе части этого равенства на , по­лучим выражение для дипольного момента единицы объема, т. е. вектор :

Единицей поляризованности является кулон на квадрат­ный метр (Кл/м2).

Связь между и .Как показывает опыт, для обширного класса диэлектриков и широкого круга явлений поляризованность зависит линейно от напряженности Е поля в диэлект­рике. Если диэлектрик изотропный и Е не слишком велико, то

где — безразмерная величина, называемая диэлектрической восприимчивостью вещества. Эта величина не зависит от , она характеризует свойства самого диэлектрика. Всегда >0.

Свойства поля вектора

Теорема Гаусса для поля вектора . Как мы сейчас пока­жем, поле вектора обладает следующим замечательным и важным свойством. Оказывается, поток вектора сквозь про­извольную замкнутую поверхность S равен взятому с обратным знаком избыточному связанному заряду диэлектрика в объеме, охватываемом поверхностью S, т. е.

(2)

Это уравнение и выражает теорему Гаусса для вектора .

Доказательство теоремы. Пусть произвольная замкнутая по­верхность S охватывает часть диэлектрика (рисунок, где диэ­лектрик заштрихован). При включении внешнего электрического поля диэлектрик поля­ризуется — положительные заряды сместятся относите­льно отрицательных. Найдем заряд, который проходит через элемент dS замкнутой поверхности S наружу.

Пусть и — векторы, характеризующие смещения поло­жительного и отрицательного связанных зарядов в результате поляризации. Тогда ясно, что через элемент поверхности dS на­ружу поверхности S выйдет положительный заряд , заключенный во «внутренней» части косого цилиндра. Кроме того, через элемент dS войдет внутрь повер­хности S отрицательный заряд , заключенный во «внешней» части косого цилиндра. Но мы знаем, что перенос отрицательного заряда в некотором направлении эквивалентен переносу положительного заряда в противоположном направле­нии. Учитывая это, можно записать суммарный связанный за­ряд, выходящий наружу поверхности S через элемент dS, как

Поскольку

где — расстояние, на которое сместились относитель­но друг друга положительные и отрицательные связанные за­ряды диэлектрика при поляризации.

Далее, согласно и , или

 

Проинтегрировав это выражение по всей замкнутой поверх­ности S, мы найдем весь заряд, который вышел при поляриза­ции из объема, охватываемого поверхностью S, он равен В результате внутри поверхности S останется некоторый избы­точный связанный заряд q'. Ясно, что вышедший заряд должен быть равен с обратным знаком оставшемуся внутри поверхно­сти S избыточному связанному заряду, и мы приходим к (2).

В дифференциальной форме уравнение (2) — теорема Гаусса для поля вектора — имеет следующий вид:

т. е. дивергенция поля вектора равна с обратным знаком объемной плотности избыточного связанного заряда в той же точке.

Объем­ная плотность избыточных связанных зарядов внутри диэлект­рика будет равна нулю при одновременном выполнении двух условий:

1) диэлектрик должен быть однородным;

2) внутри него не должно быть сторонних зарядов ( ).

Действительно, из основного свойства поля вектора (2) следует, что в случае однородного диэлектрика можно, заменив на согласно , вынести и из-под знака интеграла и за­писать

Оставшийся интеграл есть не что иное, как алгебраическая сумма всех зарядов — сторонних и связанных — внутри рас­сматриваемой замкнутой поверхности S, т. е. . Поэтому , откуда

(3)

Это соотношение между избыточным связанным зарядом и сторонним зарядом справедливо для любого объема внутри диэлектрика, в частности и для физически бесконечно малого, когда и . Тогда (3) после сокраще­ния на dV примет вид

связь

Значит, в однородном диэлектрике , если .

Таким образом, если в произвольное электрическое поле по­местить однородный изотропный диэлектрик какой угодно формы, можно быть уверенным, что при его поляризации поя­вятся только поверхностные связанные заряды, объемные же избыточные связанные заряды во всех точках такого диэлект­рика будут равны нулю.

Граничные условия для вектора . Рассмотрим поведение вектора на границе раздела двух однородных изотропных ди­электриков. Мы только что установили, что у таких диэлектри­ков объемного избыточного связанного заряда нет и в результа­те поляризации появляется только поверхностный связанный заряд.

Найдем связь между поляризованностью и поверхностной плотностью связанных зарядов на границе раздела диэлект­риков. Для этого воспользуемся свойством (2) поля вектора Р. Возьмем в качестве замкнутой поверхности небольшой плос­кий цилиндр, торцы которого расположим по разные стороны границы раздела (рисунок). Высоту цилиндра будем предпола­гать ничтожно малой, а площадь каждого торца настолько малой, что во всех точках каждого торца цилиндра вектор был бы одинаков (это же касается и поверхностной плотности связанного заряда). Пусть — общая нормаль к границе раз­дела в данном месте. Условимся всегда проводить вектор от диэлектрика 1 к диэлектрику 2.

Пренебрегая потоком вектора сквозь боковую поверхность выбранного нами цилиндра, запишем согласно (2):

где и — проекции вектора в диэ­лектрике 2 на нормаль пив диэлектрике 1 на нормаль (рисунок).

Учитывая, что проекция вектора на нормаль равна с обратным знаком про­екции этого вектора на противоположную (общую) нормаль , т. е. , пере­ пишем предыдущее уравнение после со­кращения на в следующем виде:

Это значит, что на границе раздела диэлектриков нормаль­ная составляющая вектора испытывает разрыв, величина ко­торого зависит от . В частности, если среда 2 вакуум, то , и условие ( ) приобретает более простой вид:

где — проекция вектора на внешнюю нормаль к поверхно­сти данного диэлектрика. Знак проекции определяет и знак поверхностного связанного заряда в данном месте. Послед­нюю формулу можно представить в другом виде, а именно в со­ответствии с формулой можно записать:

где — проекция вектора (внутри диэлектрика вблизи от его поверхности) на внешнюю нормаль. Здесь также знак определяет знак .

Замечание о поле вектора . Соотношения и не­редко дают основание ошибочно думать, что поле вектора за­висит только от связанных зарядов. На самом деле это не так. Поле вектора , как и , зависит от всех зарядов, как связан­ных, так и сторонних, об этом говорит хотя бы уже тот факт, что векторы и связаны друг с другом соотношением . Связанные заряды определяют не поле вектора , а лишь поток этого вектора сквозь замкнутую поверхность S. Бо­лее того, этот поток определяется не всеми связанными заряда­ми, а только теми, которые охватывает поверхность S.

 

Предыдущая1234567Следующая



Рекомендуем посмотреть ещё:


Закрыть ... [X]

Связь между поляризованностью диэлектрика и объемной плотностью Мастер класс по детским резинками

Связь между поляризованностью и связанными зарядами Реферат: Расчет поляризованности и плотности связанного заряда
Связь между поляризованностью и связанными зарядами Статья: Расчет поляризованности и плотности связанного заряда
Связь между поляризованностью и связанными зарядами Поляризованность - Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья
Связь между поляризованностью и связанными зарядами 2.3. Связанные заряды. Электрическое поле в диэлектриках
Связь между поляризованностью и связанными зарядами Поляризованность диэлектрика. Её свойства. МегаЛекции
Связь между поляризованностью и связанными зарядами Поляризованность. Связь между Р и Е. Сегнетоэлектрики


Похожие новости